Thema: Lineare Funktion

Gegeben:

Die Funktionsgleichung

f(x)= - 0.5·x - 2  und die Punkte P1(2 ; -4) und P2(-4 ; 5) des Graphen

x ist Element der rationalen Zahlen.

 

der linearen Funktion  g(x).

  

Teilaufgaben
(Hinweis: Die Teillösungen können über die entsprechenden Links erreicht werden!)

 

1. Bestimmen Sie mit Hilfe der Punkte P1(2 ; -4) und P2(-4 ; 5) die Funktionsgleichung von g(x)!
2 . Bestimmen Sie jeweils eine Wertetabelle für die Funktionen f(x) und g(x)! 
3 . Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) im Bereich -10 < x < 10!
4 . Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte (Schnittpunkte mit x- und y-Achse) der Funktion f(x)!
5 . Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte (Schnittpunkte mit x- und y-Achse) der Funktion g(x)!
6. Berechnen Sie den Steigungswinkel des Graphen der Funktion f(x)!
7. Berechnen Sie den Steigungswinkel des Graphen der Funktion g(x)!
8. Die Graphen der beiden Funktionen bilden einen Schnittpunkt. Berechnen Sie die Koordinate des Schnittpunktes.

 

1) Berechnung der Funktionsgleichung   g(x)= m·x+b

Hinweis: ... mit Hilfe der Punkt P1(2 ; -4) und P2(-4 ; 5) kann ein Steigungsdreieck gebildet werden. Das Verhältnis der senkrechten Seite zur waagerechten Seite entspricht dem Steigungsfaktor m der Funktionsgleichung   mathematisch formulierte Lösung: Bedingung: Rechnung:
m=(y2-y1)/(x2-x1) m = ( 5 + 4 )/( - 4 - 2 )
  m = 9 / - 6
    m = - 1.5 
  ... den Steigungsfaktors m= -1.5 und die Koordinaten des Punktes P1(2 ; -4) oder
P2(-4 ; 5) in die Funktionsgleichung einsetzten.
... die entstandene Gleichung nun nach b auflösen.		     y1 = m·x1+b - 4· = - 1.5 · 2 + b
b = y1-m·x1 b = - 4 + 1.5 · 2
  b = -1 
       
      g(x) = - 1.5·x - 1
       

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Wertetabelle der Funktion    f(x)= - 0.5·x - 2   und   g(x)= - 1.5·x - 1    im Bereich (-10 <  x  < 10 )!


x
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
-5.5
-6
-6.5
-7

x
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
g(x)
14
12.5
11
9.5
8
6.5
5
3.5
2
0.5
-1
-2.5
-4
-5.5
-7
-8.5
-10
-11.5
-13
-14.5
-16

3) Graphische Darstellung der Funktion   f(x)= - 0.5·x - 2   und   g(x)= - 1.5·x - 1    im Bereich (-10 <  x  < 10 )!

4) Berechnung der Achsenschnittpunkte der Funktion     f(x)= - 0.5·x - 2
  Schnittpunkt mit der y-Achse   mathematisch formulierte Lösung: Bedingung:   Rechnung:
Hinweis: Wenn der Schnittpunkt mit der y-Achse gesucht wird, dann ist die zugehörige x-Koordinate dieses Schnittpunktes bekannt. Die x-Koordinate x=0 gehört zum y-Achsenschnittpunkt!
Daher kann die y-Koordinate aus der Funktionsgleichung abgelesen werden... es muss immer der lineare Rest 'b' sein, in diesem Fall also ys= - 2 . 		    f(0) = ys    f(0) = - 2
           ys =  - 2
               
           
 
  Schnittpunkte mit der x-Achse   mathematisch formulierte Lösung: Bedingung:   Rechnung:
Hinweis: Wenn der Schnittpunkt mit der x-Achse gesucht wird, dann ist die zugehörige y-Koordinate des Schnittpunktes bekannt. Die y-Koordinate wird zu y=0 gewählt und in die Funktionsgleichung f(x)= - 0.5·x - 2 eingesetzt. Die Gleichung 0 = - 0.5·x - 2 wird dann nach x aufgelöst.     f(xs) = 0   0 = - 0.5·x - 2
      0 = m·xs + b   0.5·x = - 2
          xs = - 4
           
5) Berechnung der Achsenschnittpunkte der Funktion      g(x)= - 1.5·x - 1
  Schnittpunkt mit der y-Achse   mathematisch formulierte Lösung: Bedingung:   Rechnung:
Hinweis: Wenn der Schnittpunkt mit der y-Achse gesucht wird, dann ist die zugehörige x-Koordinate dieses Schnittpunktes bekannt. Die x-Koordinate x=0 gehört zum y-Achsenschnittpunkt!
Daher kann die y-Koordinate aus der Funktionsgleichung abgelesen werden... es muss immer der lineare Rest 'b' sei, in diesem Fall also ys= - 1 . 		    f(0) = ys    f(0) = - 1
           ys = - 1
           
           
             
: Schnittpunkte mit der x-Achse   mathematisch formulierte Lösung: Bedingung:   Rechnung:
Hinweis Wenn der Schnittpunkt mit der x-Achse gesucht wird, dann ist die zugehörige y-Koordinate des Schnittpunktes bekannt. Die y-Koordinate wird zu y=0 gewählt und in die Funktionsgleichung g(x)= - 1.5·x - 1 eingesetzt. Die Gleichung 0 = - 1.5·x - 1 wird dann nach x aufgelöst.     f(xs) = 0   0 = - 1.5·x - 1
      0 = m·xs + b   1.5·x = - 1
          xs = - 0.667
           
6) Berechnung des Steigungswinkels der Funktion       f(x)= - 0.5·x - 2
Hinweis: ... der Tanges des Steigungswinkels entspricht dem Steigungsfaktor  m   mathematisch formulierte Lösung: Bedingung:   Rechnung:
        tan(α) =   m   tan(α)   = - 0.5
        α=arctan(m)   α =  arctan( - 0.5)
            α = - 26.565 °
7) Berechnung des Steigungswinkels der Funktion      g(x)= - 1.5·x - 1
Hinweis: ... der Tanges des Steigungswinkels entspricht dem Steigungsfaktor  m   mathematisch formulierte Lösung: Bedingung:   Rechnung:
      tan(α) =   m   tan(α)   = - 1.5
        α=arctan(m)   α =  arctan( - 1.5)
            α = - 56.31 °
8) Berechnung des Schnittpunktes der Graphen von den Funktionen    f(x)= - 0.5·x - 2   und    g(x)= - 1.5·x - 1.
Hinweis: Die Koordinaten des Schnittpunktes werden durch Gleichsetzten der Funktionen f(x)= - 0.5·x - 2 und
g(x)= - 1.5·x - 1 bestimmt.
Die Gleichung wird dann zur gesuchten Größe x aufgelöst.
Die y-Koordinate wird durch einsetzen der zuvor berechneten x-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen errechnet.		   mathematisch formulierte Lösung: Bedingung   Rechnung:
      f(xs) = g(x)   - 0.5·x - 2 = - 1.5·x - 1
      m1·x1+b1 = m2·x2+b2   - 0.5·x + 1.5·x =  - 1 + 2
          1·x = 1
          xs = 1 
            ys = f( 1) 
            ys = - 0.5 · 1 - 2
            ys = - 2.5
      Der gemeinsame Schnittpunkt liegt bei P( 1 ; - 2.5)