Kurvendiskussion: Funktion dritten Grades

 

Gegeben ist die Funktion

f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667

x ist Element der rationalen Zahlen.

Teilaufgaben
(Hinweis: Die Teillösungen können über die entsprechenden Links erreicht werden!)

1. Zeichnen Sie den Graphen der Funktionen f(x) im Bereich -10 < x < 10!
2. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) mit den Koordinatenachsen!
3. Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x)!
4. Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen der Funktion f(x)!
5. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion f(x)!
6. Beschreiben Sie das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) des Graphen der Funktion f(x)!

Zusatzaufgabe:
Der Graph der Funktion f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667 soll an der x-Achse gespiegelt werden.
Erstellen Sie die aus der Spiegelung resultierenden Funktionsgleichung g(x) in der Polynomform.

 

1) Graphische Darstellung der Funktion   f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667



2) Schnittpunkte des Graphen der Funktion    f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667   mit den Koordinatenachsen

2a) Schnittpunkt mit der y-Achse

   Bedingung:   f(0) = ys    f(0) = -2.667

2b) Schnittpunkte mit der x-Achse

   Bedingung:   f(x) = 0
   Lösungsansatz: 1. Erste Nullstelle durch probieren ermitteln (liegt im Bereich -3 < x < 3)  
    2. Polynomdivision
    3. Zweite und dritte Nullstelle mit der pq-Formel ermitteln

  Rechnung: 0 = 0.333 (x3 + 5 x2 + 2 x - 8)  Faktor a3 = 0.33 ausklammern
    0 = (x3 + 5 x2 + 2 x - 8) Gleichung durch a3 = 0.33 teilen
       
  Polynomdivision:  (x3 + 5 x2 + 2 x - 8) / (x + 2 ) = x2 + 3 x - 4 angenommene Nullstelle bei x = - 2 , also... teilen durch (x + 2)
 
-(x3 + 2 x2)
        3 x2 + 2 x - 8   
    -( 3 x2 + 6 x)
 
        ( - 4 x - 8 )  
      -( - 4 x - 8 )  
       

 

 

 

 

 

 

weiter Nullstellen über pq-Formel ...

  weitere Nullstellen 0 = x2 + 3 x - 4   0 = x2 + 3 x - 4
  anwenden der pq-Formel x1 = - 1.5 + Wurzel( 1.52 + 4)   x2 = - 1.5 - Wurzel( 1.52 + 4)
  quadrieren innerhalb des Wurzelausdrucks x1 = - 1.5 + Wurzel( 2.25 + 4)   x2 = - 1.5 - Wurzel( 2.25 + 4)
  Wurzelausdrucks zusammenfassen x1 = - 1.5 + Wurzel( 6.25)   x2 = - 1.5 - Wurzel( 6.25)
  Ergebnis für x1 berechnen x1 = - 1.5 + 2.5   x2 = - 1.5 - 2.5
  Nullstelle für x1 x1 = 1   x2 = - 4

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) liegen bei: x1 = 1 x2 = - 4 x3 = - 2

3. Berechnen der Extremwerte des Graphen der Funktion  f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667



  f(x)   = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667  
Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion: f ´(x)  = 1 x2 + 3.333 x + 0.667  
Bestimmen der zweiten Ableitungsfunktion: f ´´(x) = 2 x + 3.333  
Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion: f ´´´(x) = 2  
     
notwendige Bedingung:   f ´(x) = 0 0 = 1 x2 + 3.333 x + 0.667 0 = 1 x2 + 3.333 x + 0.667
  0 = x2 + 3.333 x + 0.667 0 = x2 + 3.333 x + 0.667
  x1 = - 1.667 + Wurzel( 1.6672 - 0.667) x2 = - 1.667 - Wurzel( 1.6672 - 0.667)
  x1 = - 1.667 + Wurzel( 2.778 - 0.667) x2 = - 1.667 - Wurzel( 2.778 - 0.667)
  x1 = - 1.667 + Wurzel( 2.111) x2 = - 1.667 - Wurzel( 2.111)
  x1 = - 1.667 + 1.453 x2 = - 1.667 - 1.453
  x1 = - 0.214 x2 = - 3.12
     
hinreichende Bedingung:  f ´´(x) <> 0 f ´´( - 0.214) = 2.906 f´´( - 3.12) = - 2.906
  f´´(-0.21) > 0 .. an der Stelle x = -0.21
liegt daher ein Tiefpunkt vor.
f´´(-3.12)< 0 .. an der Stelle x = -3.12
liegt daher ein Hochpunkt vor.
     
berechnen der zugehörigen y-Koordinate f(-0.214) = -2.736 f(-3.12) = 1.354
Koordinaten der Extrempunkte P(-0.214 / -2.736) P(-3.12 / 1.354)

4. Berechnen der Wendestelle des Graphen der Funktion  f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667


zweite Ableitungsfunktion: f ´´(x) = 2 x + 3.333
dritten Ableitungsfunktion: f ´´´(x) = 2
   
notwendige Bedingung:   f ´´(x) = 0 2 x + 3.333 = 0
  2 x = - 3.333
  x = - 3.333 / 2
  x = - 1.667
   
hinreichende Bedingung:  f ´´´(x) <> 0 f´´´( - 1.667 ) = 2 ... ist also erfüllt...
  f´´´( - 1.667 ) > 0 ... daraus folgt ein Rechts-Links-Krümmungswechsel an der Wendestelle
berechnen der zugehörigen y-Koordinate f(-1.667) = -0.691
Koordinate des Wendepunkte P(-1.667 / -0.691 )

5. Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion 

f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667

... untersucht wird die zweite Ableitung der Funktion f(x) f ´´(x) = 2 x + 3.333


Bereich links vom Wendepunkt   K1=[ - ∞; - 1.667 ] f ´´( - 3 ) = - 2.667  
  Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im negativen Bereich
  ... es liegt also eine Rechtskrümmung vor
   
Bereich rechts vom Wendepunkt   K1=[ - 1.667 ; ∞ ] f ´´( - 1 ) = 1.333  
  Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... es liegt also eine Linkskrümmung vor


6. Monotonieverhalten des Graphen der Funktion 

f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667

...untersucht wird die erste Ableitung

f ´(x)  = 1 x2 + 3.333 x + 0.667





Bereich links vom Punkt  P( - 3.12; 1.354 ) f ´( - 4 ) = 3.333  

M1=[ - ∞; - 3.12 ]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend
   
Bereich zwischen P( - 3.12 ; 1.354) und P( - 0.214; - 2.736 ) f ´( - 1 ) = - 1.667  

M2=[ - 3.12; - 0.214]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im negativen Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton fallend
   
Bereich rechts vom Punkt  P( - 0.214; - 2.736 ) f ´( 1 ) = 5  

M3=[ - 0.214 ; ∞]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend

Zusatzaufgabe:

Lösungshinweis:
Die Multiplikation der Funktionsgleichung  f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667   mit dem Faktor -1 bewirkt anschaulich eine Spiegelung des Graph von f(x) an der x-Achse!
...also g(x)= -1· f(x)
g(x)= -1 · f(x)
  g(x)= -1 · (0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667 )
... die Funktionsgleichung von g(x) ergibt sich zu ... g(x) = - 0.333 x3 - 1.667 x2 - 0.667 x + 2.667


Kontrolldarstellung der Funktionsgraphen von  f(x) = 0.333 x3 + 1.667 x2 + 0.667 x - 2.667   und   g(x) = - 0.333 x3 - 1.667 x2 - 0.667 x + 2.667