Kurvendiskussion: Funktion dritten Grades |
Gegeben ist die Funktion |
f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 |
x ist Element der rationalen Zahlen. |
Teilaufgaben
(Hinweis: Die Teillösungen können über die entsprechenden
Links erreicht werden!)
1. Zeichnen Sie den Graphen
der Funktionen f(x) im Bereich -10 < x < 10!
2. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen
der Funktion f(x) mit den Koordinatenachsen!
3. Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen der
Funktion f(x)!
4. Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen der
Funktion f(x)!
5. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten
des Graphen der Funktion f(x)!
6. Beschreiben Sie das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten)
des Graphen der Funktion f(x)!
Zusatzaufgabe:
Der Graph der Funktion f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5
soll an der x-Achse gespiegelt werden.
Erstellen Sie die aus der Spiegelung resultierenden Funktionsgleichung g(x)
in der Polynomform.
1) Graphische Darstellung der Funktion f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5
2) Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 mit den Koordinatenachsen
2a) Schnittpunkt mit der y-Achse
Bedingung: | f(0) = ys f(0) = 7.5 |
2b) Schnittpunkte mit der x-Achse
Bedingung: | f(x) = 0 |
Lösungsansatz: | 1. Erste Nullstelle durch probieren ermitteln (liegt im Bereich -3 < x < 3) | |
2. Polynomdivision | ||
3. Zweite und dritte Nullstelle mit der pq-Formel ermitteln |
Rechnung: | 0 = 0.25 (x3 + 12 x2 + 41 x + 30) | Faktor a3 = 0.25 ausklammern | ||
0 = (x3 + 12 x2 + 41 x + 30) | Gleichung durch a3 = 0.25 teilen | |||
Polynomdivision: | (x3 + 12 x2 + 41 x + 30) / (x + 1 ) = x2 + 11 x + 30 | angenommene Nullstelle bei x = - 1 , also... teilen durch (x + 1) | ||
-(x3 + 1 x2) 11 x2 + 41 x + 30 -( 11 x2 + 11 x) |
||||
( 30 x + 30 ) | ||||
-( 30 x + 30 ) | ||||
weiter Nullstellen über pq-Formel ...
weitere Nullstellen | 0 = x2 + 11 x + 30 | 0 = x2 + 11 x + 30 | ||
anwenden der pq-Formel | x1 = - 5.5 + Wurzel( 5.52 - 30) | x2 = - 5.5 - Wurzel( 5.52 - 30) | ||
quadrieren innerhalb des Wurzelausdrucks | x1 = - 5.5 + Wurzel( 30.25 - 30) | x2 = - 5.5 - Wurzel( 30.25 - 30) | ||
Wurzelausdrucks zusammenfassen | x1 = - 5.5 + Wurzel( 0.25) | x2 = - 5.5 - Wurzel( 0.25) | ||
Ergebnis für x1 berechnen | x1 = - 5.5 + 0.5 | x2 = - 5.5 - 0.5 | ||
Nullstelle für x1 | x1 = - 5 | x2 = - 6 |
Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) liegen bei: | x1 = - 5 | x2 = - 6 | x3 = - 1 |
3. Berechnen der Extremwerte des Graphen der Funktion f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5
f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 | ||
Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion: | f ´(x) = 0.75 x2 + 6 x + 10.25 | |
Bestimmen der zweiten Ableitungsfunktion: | f ´´(x) = 1.5 x + 6 | |
Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion: | f ´´´(x) = 1.5 | |
notwendige Bedingung: f ´(x) = 0 | 0 = 0.75 x2 + 6 x + 10.25 | 0 = 0.75 x2 + 6 x + 10.25 |
0 = x2 + 8 x + 13.667 | 0 = x2 + 8 x + 13.667 | |
x1 = - 4 + Wurzel( 42 - 13.667) | x2 = - 4 - Wurzel( 42 - 13.667) | |
x1 = - 4 + Wurzel( 16 - 13.667) | x2 = - 4 - Wurzel( 16 - 13.667) | |
x1 = - 4 + Wurzel( 2.333) | x2 = - 4 - Wurzel( 2.333) | |
x1 = - 4 + 1.528 | x2 = - 4 - 1.528 | |
x1 = - 2.472 | x2 = - 5.528 | |
hinreichende Bedingung: f ´´(x) <> 0 | f ´´( - 2.472) = 2.291 | f´´( - 5.528) = - 2.291 |
f´´(-2.47) > 0 .. an der Stelle x = -2.47 liegt daher ein Tiefpunkt vor. |
f´´(-5.53)< 0 .. an der Stelle x = -5.53 liegt daher ein Hochpunkt vor. |
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berechnen der zugehörigen y-Koordinate | f(-2.472) = -3.282 | f(-5.528) = 0.282 |
Koordinaten der Extrempunkte | P(-2.472 / -3.282) | P(-5.528 / 0.282) |
4. Berechnen der Wendestelle des Graphen der Funktion f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5
zweite Ableitungsfunktion: | f ´´(x) = 1.5 x + 6 |
dritten Ableitungsfunktion: | f ´´´(x) = 1.5 |
notwendige Bedingung: f ´´(x) = 0 | 1.5 x + 6 = 0 |
1.5 x = - 6 | |
x = - 6 / 1.5 | |
x = - 4 | |
hinreichende Bedingung: f ´´´(x) <> 0 | f´´´( - 4 ) = 1.5 ... ist also erfüllt... |
f´´´( - 4 ) > 0 ... daraus folgt ein Rechts-Links-Krümmungswechsel an der Wendestelle | |
berechnen der zugehörigen y-Koordinate | f(-4) = -1.5 |
Koordinate des Wendepunkte | P(-4 / -1.5 ) |
f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 |
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... untersucht wird die zweite Ableitung der Funktion f(x) | f ´´(x) = 1.5 x + 6 |
Bereich links vom Wendepunkt K1=[ - ∞; - 4 ] | f ´´( - 5 ) = - 1.5 |
Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im negativen Bereich | |
... es liegt also eine Rechtskrümmung vor | |
Bereich rechts vom Wendepunkt K1=[ - 4 ; ∞ ] | f ´´( - 3 ) = 1.5 |
Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im positiven Bereich | |
... es liegt also eine Linkskrümmung vor |
f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 |
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...untersucht wird die erste Ableitung |
f ´(x) = 0.75 x2 + 6 x + 10.25 |
Bereich links vom Punkt P( - 5.528; 0.282 ) | f ´( - 7 ) = 5 |
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Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich |
... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend | |
Bereich zwischen P( - 5.528 ; 0.282) und P( - 2.472; - 3.282 ) | f ´( - 3 ) = - 1 |
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Der Graph der ersten Ableitung verläuft im negativen Bereich |
... in diesem Bereich ist die Funktion monoton fallend | |
Bereich rechts vom Punkt P( - 2.472; - 3.282 ) | f ´( - 1 ) = 5 |
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Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich |
... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend |
Zusatzaufgabe:
Lösungshinweis: | |
Die Multiplikation der Funktionsgleichung
f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 mit dem Faktor -1 bewirkt
anschaulich eine Spiegelung des Graph von f(x) an der x-Achse! ...also g(x)= -1· f(x) |
g(x)= -1 · f(x) |
g(x)= -1 · (0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 ) | |
... die Funktionsgleichung von g(x) ergibt sich zu ... | g(x) = - 0.25 x3 - 3 x2 - 10.25 x - 7.5 |
Kontrolldarstellung der Funktionsgraphen
von f(x) =
0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 und
g(x) = - 0.25 x3 - 3 x2 - 10.25 x - 7.5