Kurvendiskussion: Funktion dritten Grades

  

Gegeben ist die Funktion

f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5

x ist Element der rationalen Zahlen.

Teilaufgaben
(Hinweis: Die Teillösungen können über die entsprechenden Links erreicht werden!)

1. Zeichnen Sie den Graphen der Funktionen f(x) im Bereich -10 < x < 10!
2. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) mit den Koordinatenachsen!
3. Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x)!
4. Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen der Funktion f(x)!
5. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion f(x)!
6. Beschreiben Sie das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) des Graphen der Funktion f(x)!

Zusatzaufgabe:
Der Graph der Funktion f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 soll an der x-Achse gespiegelt werden.
Erstellen Sie die aus der Spiegelung resultierenden Funktionsgleichung g(x) in der Polynomform.

 

1) Graphische Darstellung der Funktion   f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5


2) Schnittpunkte des Graphen der Funktion    f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5   mit den Koordinatenachsen

2a) Schnittpunkt mit der y-Achse

   Bedingung:   f(0) = ys    f(0) = 7.5

2b) Schnittpunkte mit der x-Achse

   Bedingung:   f(x) = 0
   Lösungsansatz: 1. Erste Nullstelle durch probieren ermitteln (liegt im Bereich -3 < x < 3)  
    2. Polynomdivision
    3. Zweite und dritte Nullstelle mit der pq-Formel ermitteln

  Rechnung: 0 = 0.25 (x3 + 12 x2 + 41 x + 30)  Faktor a3 = 0.25 ausklammern
    0 = (x3 + 12 x2 + 41 x + 30) Gleichung durch a3 = 0.25 teilen
       
  Polynomdivision:  (x3 + 12 x2 + 41 x + 30) / (x + 1 ) = x2 + 11 x + 30 angenommene Nullstelle bei x = - 1 , also... teilen durch (x + 1)
 
-(x3 + 1 x2)
        11 x2 + 41 x + 30   
    -( 11 x2 + 11 x) 		 
        ( 30 x + 30 )  
      -( 30 x + 30 )  
       

 

 

 

 

 

 

weiter Nullstellen über pq-Formel ...

  weitere Nullstellen 0 = x2 + 11 x + 30   0 = x2 + 11 x + 30
  anwenden der pq-Formel x1 = - 5.5 + Wurzel( 5.52 - 30)   x2 = - 5.5 - Wurzel( 5.52 - 30)
  quadrieren innerhalb des Wurzelausdrucks x1 = - 5.5 + Wurzel( 30.25 - 30)   x2 = - 5.5 - Wurzel( 30.25 - 30)
  Wurzelausdrucks zusammenfassen x1 = - 5.5 + Wurzel( 0.25)   x2 = - 5.5 - Wurzel( 0.25)
  Ergebnis für x1 berechnen x1 = - 5.5 + 0.5   x2 = - 5.5 - 0.5
  Nullstelle für x1 x1 = - 5   x2 = - 6

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) liegen bei: x1 = - 5 x2 = - 6 x3 = - 1

3. Berechnen der Extremwerte des Graphen der Funktion  f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5



  f(x)   = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5  
Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion: f ´(x)  = 0.75 x2 + 6 x + 10.25  
Bestimmen der zweiten Ableitungsfunktion: f ´´(x) = 1.5 x + 6  
Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion: f ´´´(x) = 1.5  
     
notwendige Bedingung:   f ´(x) = 0 0 = 0.75 x2 + 6 x + 10.25 0 = 0.75 x2 + 6 x + 10.25
  0 = x2 + 8 x + 13.667 0 = x2 + 8 x + 13.667
  x1 = - 4 + Wurzel( 42 - 13.667) x2 = - 4 - Wurzel( 42 - 13.667)
  x1 = - 4 + Wurzel( 16 - 13.667) x2 = - 4 - Wurzel( 16 - 13.667)
  x1 = - 4 + Wurzel( 2.333) x2 = - 4 - Wurzel( 2.333)
  x1 = - 4 + 1.528 x2 = - 4 - 1.528
  x1 = - 2.472 x2 = - 5.528
     
hinreichende Bedingung:  f ´´(x) <> 0 f ´´( - 2.472) = 2.291 f´´( - 5.528) = - 2.291
  f´´(-2.47) > 0 .. an der Stelle x = -2.47
liegt daher ein Tiefpunkt vor. 		f´´(-5.53)< 0 .. an der Stelle x = -5.53
liegt daher ein Hochpunkt vor.
     
berechnen der zugehörigen y-Koordinate f(-2.472) = -3.282 f(-5.528) = 0.282
Koordinaten der Extrempunkte P(-2.472 / -3.282) P(-5.528 / 0.282)

4. Berechnen der Wendestelle des Graphen der Funktion  f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5


zweite Ableitungsfunktion: f ´´(x) = 1.5 x + 6
dritten Ableitungsfunktion: f ´´´(x) = 1.5
   
notwendige Bedingung:   f ´´(x) = 0 1.5 x + 6 = 0
  1.5 x = - 6
  x = - 6 / 1.5
  x = - 4
   
hinreichende Bedingung:  f ´´´(x) <> 0 f´´´( - 4 ) = 1.5 ... ist also erfüllt...
  f´´´( - 4 ) > 0 ... daraus folgt ein Rechts-Links-Krümmungswechsel an der Wendestelle
berechnen der zugehörigen y-Koordinate f(-4) = -1.5
Koordinate des Wendepunkte P(-4 / -1.5 )

5. Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion 

f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5

... untersucht wird die zweite Ableitung der Funktion f(x) f ´´(x) = 1.5 x + 6


Bereich links vom Wendepunkt   K1=[ - ∞; - 4 ] f ´´( - 5 ) = - 1.5  
  Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im negativen Bereich
  ... es liegt also eine Rechtskrümmung vor
   
Bereich rechts vom Wendepunkt   K1=[ - 4 ; ∞ ] f ´´( - 3 ) = 1.5  
  Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... es liegt also eine Linkskrümmung vor

6. Monotonieverhalten des Graphen der Funktion 

f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5

...untersucht wird die erste Ableitung

f ´(x)  = 0.75 x2 + 6 x + 10.25





Bereich links vom Punkt  P( - 5.528; 0.282 ) f ´( - 7 ) = 5  

M1=[ - ∞; - 5.528 ]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend
   
Bereich zwischen P( - 5.528 ; 0.282) und P( - 2.472; - 3.282 ) f ´( - 3 ) = - 1  

M2=[ - 5.528; - 2.472]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im negativen Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton fallend
   
Bereich rechts vom Punkt  P( - 2.472; - 3.282 ) f ´( - 1 ) = 5  

M3=[ - 2.472 ; ∞]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend

Zusatzaufgabe:

Lösungshinweis:
Die Multiplikation der Funktionsgleichung  f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5   mit dem Faktor -1 bewirkt anschaulich eine Spiegelung des Graph von f(x) an der x-Achse!
...also g(x)= -1· f(x)		 g(x)= -1 · f(x)
  g(x)= -1 · (0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5 )
... die Funktionsgleichung von g(x) ergibt sich zu ... g(x) = - 0.25 x3 - 3 x2 - 10.25 x - 7.5


Kontrolldarstellung der Funktionsgraphen von  f(x) = 0.25 x3 + 3 x2 + 10.25 x + 7.5   und   g(x) = - 0.25 x3 - 3 x2 - 10.25 x - 7.5