Kurvendiskussion: Funktion dritten Grades

 

Gegeben ist die Funktion

f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x

x ist Element der rationalen Zahlen.

Teilaufgaben
(Hinweis: Die Teillösungen können über die entsprechenden Links erreicht werden!)

1. Zeichnen Sie den Graphen der Funktionen f(x) im Bereich -10 < x < 10!
2. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) mit den Koordinatenachsen!
3. Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen der Funktion f(x)!
4. Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen der Funktion f(x)!
5. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion f(x)!
6. Beschreiben Sie das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten) des Graphen der Funktion f(x)!

Zusatzaufgabe:
Der Graph der Funktion f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x soll um eine Einheit in positive x-Richtung verschoben werden.
Erstellen Sie die aus der Verschiebung resultierenden Funktionsgleichung g(x) in der Polynomform.

 

1) Graphische Darstellung der Funktion   f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x



2) Schnittpunkte des Graphen der Funktion    f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x   mit den Koordinatenachsen

2a) Schnittpunkt mit der y-Achse

   Bedingung:   f(0) = ys    f(0) = 0

2b) Schnittpunkte mit der x-Achse

   Bedingung:   f(x) = 0
   Lösungsansatz: 1. Erste Nullstelle durch probieren ermitteln (liegt im Bereich -3 < x < 3)  
    2. Polynomdivision
    3. Zweite und dritte Nullstelle mit der pq-Formel ermitteln

  Rechnung: 0 = 1.5 (x3 + 5 x2 + 4 x + 0)  Faktor a3 = 1.5 ausklammern
    0 = (x3 + 5 x2 + 4 x + 0) Gleichung durch a3 = 1.5 teilen
       
  Polynomdivision:  (x3 + 5 x2 + 4 x + 0) / (x + 1 ) = x2 + 4 x + 0 angenommene Nullstelle bei x = - 1 , also... teilen durch (x + 1)
 
-(x3 + 1 x2)
        4 x2 + 4 x + 0   
    -( 4 x2 + 4 x)
 
        ( 0 x + 0 )  
      -( 0 x + 0 )  
       

 

 

 

 

 

 

weiter Nullstellen über pq-Formel ...

  weitere Nullstellen 0 = x2 + 4 x + 0   0 = x2 + 4 x + 0
  anwenden der pq-Formel x1 = - 2 + Wurzel( 22 + 0)   x2 = - 2 - Wurzel( 22 + 0)
  quadrieren innerhalb des Wurzelausdrucks x1 = - 2 + Wurzel( 4 + 0)   x2 = - 2 - Wurzel( 4 + 0)
  Wurzelausdrucks zusammenfassen x1 = - 2 + Wurzel( 4)   x2 = - 2 - Wurzel( 4)
  Ergebnis für x1 berechnen x1 = - 2 + 2   x2 = - 2 - 2
  Nullstelle für x1 x1 = 0   x2 = - 4

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) liegen bei: x1 = 0 x2 = - 4 x3 = - 1
x2 =

3. Berechnen der Extremwerte des Graphen der Funktion  f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x



  f(x)   = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x  
Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion: f ´(x)  = 4.5 x2 + 15 x + 6  
Bestimmen der zweiten Ableitungsfunktion: f ´´(x) = 9 x + 15  
Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion: f ´´´(x) = 9  
     
notwendige Bedingung:   f ´(x) = 0 0 = 4.5 x2 + 15 x + 6 0 = 4.5 x2 + 15 x + 6
  0 = x2 + 3.333 x + 1.333 0 = x2 + 3.333 x + 1.333
  x1 = - 1.667 + Wurzel( 1.6672 - 1.333) x2 = - 1.667 - Wurzel( 1.6672 - 1.333)
  x1 = - 1.667 + Wurzel( 2.778 - 1.333) x2 = - 1.667 - Wurzel( 2.778 - 1.333)
  x1 = - 1.667 + Wurzel( 1.444) x2 = - 1.667 - Wurzel( 1.444)
  x1 = - 1.667 + 1.202 x2 = - 1.667 - 1.202
  x1 = - 0.465 x2 = - 2.869
     
hinreichende Bedingung:  f ´´(x) <> 0 f ´´( - 0.465) = 10.817 f´´( - 2.869) = - 10.817
  f´´(-0.46) > 0 .. an der Stelle x = -0.46
liegt daher ein Tiefpunkt vor.
f´´(-2.87)< 0 .. an der Stelle x = -2.87
liegt daher ein Hochpunkt vor.
     
berechnen der zugehörigen y-Koordinate f(-0.465) = -1.319 f(-2.869) = 9.097
Koordinaten der Extrempunkte P(-0.465 / -1.319) P(-2.869 / 9.097)

4. Berechnen der Wendestelle des Graphen der Funktion  f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x


zweite Ableitungsfunktion: f ´´(x) = 9 x + 15
dritten Ableitungsfunktion: f ´´´(x) = 9
   
notwendige Bedingung:   f ´´(x) = 0 9 x + 15 = 0
  9 x = - 15
  x = - 15 / 9
  x = - 1.667
   
hinreichende Bedingung:  f ´´´(x) <> 0 f´´´( - 1.667 ) = 9 ... ist also erfüllt...
  f´´´( - 1.667 ) > 0 ... daraus folgt ein Rechts-Links-Krümmungswechsel an der Wendestelle
berechnen der zugehörigen y-Koordinate f(-1.667) = 3.889
Koordinate des Wendepunkte P(-1.667 / 3.889 )

5. Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion 

f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x

... untersucht wird die zweite Ableitung der Funktion f(x) f ´´(x) = 9 x + 15


Bereich links vom Wendepunkt   K1=[ - ∞; - 1.667 ] f ´´( - 3 ) = - 12  
  Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im negativen Bereich
  ... es liegt also eine Rechtskrümmung vor
   
Bereich rechts vom Wendepunkt   K1=[ - 1.667 ; ∞ ] f ´´( - 1 ) = 6  
  Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... es liegt also eine Linkskrümmung vor


6. Monotonieverhalten des Graphen der Funktion 

f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x

...untersucht wird die erste Ableitung

f ´(x)  = 4.5 x2 + 15 x + 6





Bereich links vom Punkt  P( - 2.869; 9.097 ) f ´( - 4 ) = 18  

M1=[ - ∞; - 2.869 ]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend
   
Bereich zwischen P( - 2.869 ; 9.097) und P( - 0.465; - 1.319 ) f ´( - 1 ) = - 4.5  

M2=[ - 2.869; - 0.465]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im negativen Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton fallend
   
Bereich rechts vom Punkt  P( - 0.465; - 1.319 ) f ´( 1 ) = 25.5  

M3=[ - 0.465 ; ∞]

Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich
  ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend

Zusatzaufgabe:

Lösungshinweis:
Benötigt werden die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) x1 = 0 x2 = - 4 x3 = - 1
.... daraus ergeben sich folgende Linearfaktoren x (x + 4) (x + 1)
... die Gleichung einer Funktion dritten Grades kann mit Hilfe der
Linearfaktorenform  f(x)=a3·(x-x1 )·(x-x2 )·(x-x3 ) bestimmt werden.
f(x) = 1.5 · x · (x + 4) · (x + 1)
... Linearfaktorenform sortiert ... f(x) = 1.5 · (x + 4) · (x + 1) · x
.... neue Funktionsgleichung g(x) wird durch verschieben des Graphen von   f(x)  
um   eine Einheit in positive x-Richtung erzeugt
g(x) = 1.5 · (x + 3) · x · (x - 1)
g(x) = 1.5 · [(1 x2 + 3 x)·(x - 1)]
g(x) = 1.5 · [1 x3 + 2 x2 - 3 x]
g(x) = 1.5 x3 + 3 x2 - 4.5 x


Kontrolldarstellung der Funktionsgraphen von  f(x) = 1.5 x3 + 7.5 x2 + 6 x   und   g(x) = 1.5 x3 + 3 x2 - 4.5 x