Kurvendiskussion: Funktion dritten Grades |
Gegeben ist die Funktion |
f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333 |
x ist Element der rationalen Zahlen. |
Teilaufgaben
(Hinweis: Die Teillösungen können über die entsprechenden
Links erreicht werden!)
1. Zeichnen Sie den Graphen
der Funktionen f(x) im Bereich -10 < x < 10!
2. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen
der Funktion f(x) mit den Koordinatenachsen!
3. Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen der
Funktion f(x)!
4. Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen der
Funktion f(x)!
5. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten
des Graphen der Funktion f(x)!
6. Beschreiben Sie das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten)
des Graphen der Funktion f(x)!
Zusatzaufgabe:
Der Graph der Funktion f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333
soll um
eine Einheit in positive x-Richtung verschoben werden.
Erstellen Sie die aus der Verschiebung resultierenden Funktionsgleichung g(x)
in der Polynomform.
1) Graphische Darstellung der Funktion f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333
2) Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333 mit den Koordinatenachsen
2a) Schnittpunkt mit der y-Achse
Bedingung: | f(0) = ys f(0) = 3.333 |
2b) Schnittpunkte mit der x-Achse
Bedingung: | f(x) = 0 |
Lösungsansatz: | 1. Erste Nullstelle durch probieren ermitteln (liegt im Bereich -3 < x < 3) | |
2. Polynomdivision | ||
3. Zweite und dritte Nullstelle mit der pq-Formel ermitteln |
Rechnung: | 0 = 0.333 (x3 - 6 x2 + 3 x + 10) | Faktor a3 = 0.33 ausklammern | ||
0 = (x3 - 6 x2 + 3 x + 10) | Gleichung durch a3 = 0.33 teilen | |||
Polynomdivision: | (x3 - 6 x2 + 3 x + 10) / (x - 2 ) = x2 - 4 x - 5 | angenommene Nullstelle bei x = 2 , also... teilen durch (x - 2) | ||
-(x3 - 2 x2) - 4 x2 + 3 x + 10 -( - 4 x2 + 8 x) |
||||
( - 5 x + 10 ) | ||||
-( - 5 x + 10 ) | ||||
weiter Nullstellen über pq-Formel ...
weitere Nullstellen | 0 = x2 - 4 x - 5 | 0 = x2 - 4 x - 5 | ||
anwenden der pq-Formel | x1 = 2 + Wurzel( 22 + 5) | x2 = 2 - Wurzel( 22 + 5) | ||
quadrieren innerhalb des Wurzelausdrucks | x1 = 2 + Wurzel( 4 + 5) | x2 = 2 - Wurzel( 4 + 5) | ||
Wurzelausdrucks zusammenfassen | x1 = 2 + Wurzel( 9) | x2 = 2 - Wurzel( 9) | ||
Ergebnis für x1 berechnen | x1 = 2 + 3 | x2 = 2 - 3 | ||
Nullstelle für x1 | x1 = 5 | x2 = - 1 |
Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) liegen bei: | x1 = 5 | x2 = - 1 | x3 = 2 |
3. Berechnen der Extremwerte des Graphen der Funktion f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333
f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333 | ||
Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion: | f ´(x) = 1 x2 - 4 x + 1 | |
Bestimmen der zweiten Ableitungsfunktion: | f ´´(x) = 2 x - 4 | |
Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion: | f ´´´(x) = 2 | |
notwendige Bedingung: f ´(x) = 0 | 0 = 1 x2 - 4 x + 1 | 0 = 1 x2 - 4 x + 1 |
0 = x2 - 4 x + 1 | 0 = x2 - 4 x + 1 | |
x1 = 2 + Wurzel( 22 - 1) | x2 = 2 - Wurzel( 22 - 1) | |
x1 = 2 + Wurzel( 4 - 1) | x2 = 2 - Wurzel( 4 - 1) | |
x1 = 2 + Wurzel( 3) | x2 = 2 - Wurzel( 3) | |
x1 = 2 + 1.732 | x2 = 2 - 1.732 | |
x1 = 3.732 | x2 = 0.268 | |
hinreichende Bedingung: f ´´(x) <> 0 | f ´´( 3.732) = 3.464 | f´´( 0.268) = - 3.464 |
f´´(3.73) > 0 .. an der Stelle x = 3.73 liegt daher ein Tiefpunkt vor. |
f´´(0.27)< 0 .. an der Stelle x = 0.27 liegt daher ein Hochpunkt vor. |
|
berechnen der zugehörigen y-Koordinate | f(3.732) = -3.464 | f(0.268) = 3.464 |
Koordinaten der Extrempunkte | P(3.732 / -3.464) | P(0.268 / 3.464) |
4. Berechnen der Wendestelle des Graphen der Funktion f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333
zweite Ableitungsfunktion: | f ´´(x) = 2 x - 4 |
dritten Ableitungsfunktion: | f ´´´(x) = 2 |
notwendige Bedingung: f ´´(x) = 0 | 2 x - 4 = 0 |
2 x = 4 | |
x = 4 / 2 | |
x = 2 | |
hinreichende Bedingung: f ´´´(x) <> 0 | f´´´( 2 ) = 2 ... ist also erfüllt... |
f´´´( 2 ) > 0 ... daraus folgt ein Rechts-Links-Krümmungswechsel an der Wendestelle | |
berechnen der zugehörigen y-Koordinate | f(2) = -0 |
Koordinate des Wendepunkte | P(2 / -0 ) |
f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333 |
|
... untersucht wird die zweite Ableitung der Funktion f(x) | f ´´(x) = 2 x - 4 |
Bereich links vom Wendepunkt K1=[ - ∞; 2 ] | f ´´( 1 ) = - 2 |
Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im negativen Bereich | |
... es liegt also eine Rechtskrümmung vor | |
Bereich rechts vom Wendepunkt K1=[ 2 ; ∞ ] | f ´´( 3 ) = 2 |
Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im positiven Bereich | |
... es liegt also eine Linkskrümmung vor |
f(x) = 0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333 |
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...untersucht wird die erste Ableitung |
f ´(x) = 1 x2 - 4 x + 1 |
Bereich links vom Punkt P( 0.268; 3.464 ) | f ´( - 1 ) = 6 |
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Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich |
... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend | |
Bereich zwischen P( 0.268 ; 3.464) und P( 3.732; - 3.464 ) | f ´( 3 ) = - 2 |
|
Der Graph der ersten Ableitung verläuft im negativen Bereich |
... in diesem Bereich ist die Funktion monoton fallend | |
Bereich rechts vom Punkt P( 3.732; - 3.464 ) | f ´( 5 ) = 6 |
|
Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich |
... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend |
Zusatzaufgabe:
Lösungshinweis: | |||
Benötigt werden die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) | x1 = 5 | x2 = - 1 | x3 = 2 |
.... daraus ergeben sich folgende Linearfaktoren | (x - 5) | (x + 1) | (x - 2) |
... die Gleichung einer Funktion dritten Grades kann mit Hilfe
der Linearfaktorenform  f(x)=a3·(x-x1 )·(x-x2 )·(x-x3 ) bestimmt werden. |
f(x) = 0.333 · (x - 5) · (x + 1) · (x - 2) | ||
... Linearfaktorenform sortiert ... | f(x) = 0.333 · (x + 1) · (x - 2) · (x - 5) | ||
.... neue Funktionsgleichung g(x)
wird durch verschieben des Graphen von f(x) um   eine Einheit in positive x-Richtung erzeugt |
g(x) = 0.333 · x · (x - 3) · (x - 6) | ||
g(x) = 0.333 · [(1 x2 - 3 x)·(x - 6)] | |||
g(x) = 0.333 · [1 x3 - 9 x2 + 18 x] | |||
g(x) = 0.333 x3 - 2.997 x2 + 5.994 x |
Kontrolldarstellung der Funktionsgraphen
von f(x) =
0.333 x3 - 2 x2 + 1 x + 3.333 und
g(x) = 0.333 x3 - 2.997 x2 + 5.994 x