Kurvendiskussion: Funktion dritten Grades |
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Gegeben ist die Funktion |
f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x |
x ist Element der rationalen Zahlen. |
Teilaufgaben
(Hinweis: Die Teillösungen können über die entsprechenden
Links erreicht werden!)
1. Zeichnen Sie den Graphen
der Funktionen f(x) im Bereich -10 < x < 10!
2. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen
der Funktion f(x) mit den Koordinatenachsen!
3. Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen der
Funktion f(x)!
4. Berechnen Sie die Wendestelle des Graphen der
Funktion f(x)!
5. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten
des Graphen der Funktion f(x)!
6. Beschreiben Sie das Steigungsverhalten (Monotonieverhalten)
des Graphen der Funktion f(x)!
7. Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse eingeschlossen wird!
1) Graphische Darstellung der Funktion f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x
2) Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x mit den Koordinatenachsen
2a) Schnittpunkt mit der y-Achse
| Bedingung: | f(0) = ys f(0) = 0 |
2b) Schnittpunkte mit der x-Achse
| Bedingung: | f(x) = 0 |
| Lösungsansatz: | 1. Erste Nullstelle durch probieren ermitteln (liegt im Bereich -3 < x < 3) | |
| 2. Polynomdivision | ||
| 3. Zweite und dritte Nullstelle mit der pq-Formel ermitteln |
| Rechnung: | 0 = - 0.25 (x3 + 5 x2 + 4 x + 0) | Faktor a3 = -0.25 ausklammern | ||
| 0 = (x3 + 5 x2 + 4 x + 0) | Gleichung durch a3 = -0.25 teilen | |||
| Polynomdivision: | (x3 + 5 x2 + 4 x + 0) / (x + 4 ) = x2 + 1 x + 0 | angenommene Nullstelle bei x = - 4 , also... teilen durch (x + 4) | ||
| -(x3 + 4 x2) 1 x2 + 4 x + 0 -( 1 x2 + 4 x) |
||||
| ( 0 x + 0 ) | ||||
| -( 0 x + 0 ) | ||||
weiter Nullstellen über pq-Formel ...
| weitere Nullstellen | 0 = x2 + 1 x + 0 | 0 = x2 + 1 x + 0 | ||
| anwenden der pq-Formel | x1 = - 0.5 + Wurzel( 0.52 + 0) | x2 = - 0.5 - Wurzel( 0.52 + 0) | ||
| quadrieren innerhalb des Wurzelausdrucks | x1 = - 0.5 + Wurzel( 0.25 + 0) | x2 = - 0.5 - Wurzel( 0.25 + 0) | ||
| Wurzelausdrucks zusammenfassen | x1 = - 0.5 + Wurzel( 0.25) | x2 = - 0.5 - Wurzel( 0.25) | ||
| Ergebnis für x1 berechnen | x1 = - 0.5 + 0.5 | x2 = - 0.5 - 0.5 | ||
| Nullstelle für x1 | x1 = 0 | x2 = - 1 |
| Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) liegen bei: | x1 = 0 | x2 = - 1 | x3 = - 4 |
3. Berechnen der Extremwerte des Graphen der Funktion f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x
| f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x | ||
| Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion: | f ´(x) = - 0.75 x2 - 2.5 x - 1 | |
| Bestimmen der zweiten Ableitungsfunktion: | f ´´(x) = - 1.5 x - 2.5 | |
| Bestimmen der dritten Ableitungsfunktion: | f ´´´(x) = - 1.5 | |
| notwendige Bedingung: f ´(x) = 0 | 0 = - 0.75 x2 - 2.5 x - 1 | 0 = - 0.75 x2 - 2.5 x - 1 |
| 0 = x2 + 3.333 x + 1.333 | 0 = x2 + 3.333 x + 1.333 | |
| x1 = - 1.667 + Wurzel( 1.6672 - 1.333) | x2 = - 1.667 - Wurzel( 1.6672 - 1.333) | |
| x1 = - 1.667 + Wurzel( 2.778 - 1.333) | x2 = - 1.667 - Wurzel( 2.778 - 1.333) | |
| x2 = - 1.667 + Wurzel( 1.444) | x2 = - 1.667 - Wurzel( 1.444) | |
| x1 = - 1.667 + 1.202 | x2 = - 1.667 - 1.202 | |
| x1 = - 0.465 | x2 = - 2.869 | |
| hinreichende Bedingung: f ´´(x) <> 0 | f ´´( - 0.465) = - 1.803 | f´´( - 2.869) = 1.803 |
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f´´(-0.46)< 0 .. an der Stelle x = -0.46 liegt daher ein Hochpunkt vor. |
f´´(-2.87) > 0 .. an der Stelle x = -2.87 liegt daher ein Tiefpunkt vor. |
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| berechnen der zugehörigen y-Koordinate | f(-0.465) = 0.22 | f(-2.869) = -1.516 |
| Koordinaten der Extrempunkte | P(-0.465 / 0.22) | P(-2.869 / -1.516) |
4. Berechnen der Wendestelle des Graphen der Funktion f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x
| zweite Ableitungsfunktion: | f ´´(x) = - 1.5 x - 2.5 |
| dritten Ableitungsfunktion: | f ´´´(x) = - 1.5 |
| notwendige Bedingung: f ´´(x) = 0 | - 1.5 x - 2.5 = 0 |
| - 1.5 x = 2.5 | |
| x = 2.5 / - 1.5 | |
| x = - 1.667 | |
| hinreichende Bedingung: f ´´´(x) <> 0 | f´´´( - 1.667 ) = - 1.5 ... ist also erfüllt... |
| f´´´( - 1.667 ) < 0 ... daraus folgt ein Links-Rechts-Krümmungswechselan der Wendestelle | |
| berechnen der zugehörigen y-Koordinate | f(-1.667) = -0.648 |
| Koordinate des Wendepunkte | P(-1.667 / -0.648 ) |
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f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x |
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| ... untersucht wird die zweite Ableitung der Funktion f(x) | f ´´(x) = - 1.5 x - 2.5 |
| Bereich links vom Wendepunkt K1=[ - ∞; - 1.667 ] | f ´´( - 3 ) = 2 |
| Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im positiven Bereich | |
| ... es liegt also eine Linkskrümmung vor | |
| Bereich rechts vom Wendepunkt K1=[ - 1.667 ; ∞ ] | f ´´( - 1 ) = - 1 |
| Der Graph der zweiten Ableitung verläuft im negativen Bereich | |
| ... es liegt also eine Rechtskrümmung vor |
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f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x |
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...untersucht wird die erste Ableitung |
f ´(x) = - 0.75 x2 - 2.5 x - 1 |
| Bereich links vom Punkt P( - 2.869; - 1.516 ) | f ´( - 4 ) = - 3 |
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Der Graph der ersten Ableitung verläuft im negativen Bereich |
| ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton fallend | |
| Bereich zwischen P( - 2.869 ; - 1.516) und P( - 0.465; 0.22 ) | f ´( - 1 ) = 0.75 |
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Der Graph der ersten Ableitung verläuft im positiven Bereich |
| ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton steigend | |
| Bereich rechts vom Punkt P( - 0.465; 0.22 ) | f ´( 1 ) = - 4.25 |
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Der Graph der ersten Ableitung verläuft im negativen Bereich |
| ... in diesem Bereich ist die Funktion monoton fallend |
| Die Maßzahl der Fläche A zwischen dem Graphen der Randfunktion f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x und der x-Achse über dem Intervall [ - 4 ; 0 ] wird mit Hilfe des bestimmten Integrals berechnet! | Stammfunktion | F(x) = - 0.0625 x4 - 0.4167 x3 - 0.5 x2 | |
| Maßzahl der Fläche | A = F( 0 ) - F( - 4 ) | ||
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Aus der graphischen Darstellung der Funktion f(x) = - 0.25 x3 - 1.25 x2 - 1 x ist ersichtlich, dass die zu berechnende Gesamtfläche zwischen dem Graphen und der x-Achse in Teilfläche zerlegt werden muss |
A1 = F( 0 ) - F( - 1 ) |
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A2 = F( - 1 ) - F( - 4 ) A2 = ( - 0.063 + 0.417 - 0.5 ) - ( - 16 + 26.667 - 8 ) A2 = ( - 0.146 ) - ( 2.667 ) A2 = - 2.813 |
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Ag = |A1| + |A2| Ag = 0.146 + 2.813 Ag = 2.958 |
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